Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\) \(\left(

Câu hỏi số 482875:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right)\) có mấy khoảng đồng biến?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482875

Phương pháp giải

- Dựa vào các điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), lập hệ phương trình giải tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).0

- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right)\) và suy ra các khoảng đồng biến của hàm số.

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1;0} \right)\)

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 1\\c = 0\end{array} \right.\)

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f''\left( x \right).f'\left( {f'\left( x \right)} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f''\left( x \right) = 0\\f'\left( {f'\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\f'\left( {{x^3} - 3} \right) = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\), do đó \(f'\left( {{x^3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - x = 0\\{x^3} - x = 1\\{x^3} - x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 0\\x = \pm 1,325\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm đơn, qua các nghiệm này thi \(g'\left( x \right)\) đều đổi dấu.

Ta có \(g'\left( 2 \right) = f''\left( 2 \right).f'\left( {f'\left( 2 \right)} \right) = 35.f'\left( 6 \right) = 35.210 > 0\).

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 khoảng đồng biến.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.