Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với

Câu hỏi số 482877:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là:

A. \(8\)

B. \(14\)

C. \(20\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482877

Phương pháp giải

- Dựa vào đồ thị tìm hàm số \(f'\left( x \right)\).

- Dựa vào \(f\left( x \right)\) tính \(f'\left( x \right)\), đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm, giải hệ tìm hoành độ điểm tiếp xúc và tìm hàm số \(f\left( x \right)\) tường minh.

- Xét hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;2} \right]\), tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right),\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\).

- Kết luận \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)} \right|,\,\,\left| {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)} \right|} \right\}\).

Giải chi tiết

Dựa vào hình vẽ ta thấy: Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \pm 1\) nên có dạng \(f'\left( x \right) = k\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0; - 3} \right) \Rightarrow k = 3.\)

Suy ra \(f'\left( x \right) = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 3{x^2} - 3\).

Mà \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 3\\2b = 0\\c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + d\).

Theo bài ra ta có: Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + d\) tiếp xúc với đường \(y = 4\) tại điểm có hoành độ dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + d = 4\\3{x^2} - 3 = 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\d = 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 6\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 6\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\).

\(f\left( 0 \right) = 6,\,\,f\left( 1 \right) = 4,\,\,f\left( 2 \right) = 8\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 4,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 8\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)} \right|,\,\,\left| {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)} \right|} \right\} = 8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.