Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC\); \(P\) thuộc
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC\); \(P\) thuộc đoạn \(CC'\)sao cho \(\dfrac{{CP}}{{CC'}} = x\). Tìm \(x\) để mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là \(\dfrac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\).
- Xác định 2 khối đa diện bị chia bởi \(\left( {MNP} \right)\).
- Tính tỉ số thể tích dựa vào tỉ số chiều cao và diện tích đáy.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\).
Xét \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) có \(P\) chung, \(MN//BC\) (\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))\
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = PQ//MN//BC\,\,\left( {Q \in BB'} \right)\).
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\) là \(MNPQ\).
Tính tỉ số thể tích
Khi đó mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\)chia hình lăng trụ thành 2 khối đa diện \(BCMNPQ\) và \(MNPQAA'B'C'\).
Đặt \({V_{ABC.A'B'C'}} = V,\,\,{V_{BCMNPQ}} = {V_1},\,\,{V_{MNPQAA'B'C'}} = {V_2}\).
Theo bài ra ta có \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}V\).
Ta có: \({V_1} = {V_{P.MNBC}} + {V_{P.BMQ}}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{P.MNBC}}}}{V} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{d\left( {P;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {ABC} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{PC}}{{C'C}}.\dfrac{{{S_{ABC}} - {S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.x.\dfrac{{{S_{ABC}} - \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}x\\\dfrac{{{V_{P.BMQ}}}}{V} = \dfrac{{{V_{C'.BMQ}}}}{{\dfrac{3}{2}{V_{C'.ABB'A'}}}} = \dfrac{2}{3}\dfrac{{{S_{BMQ}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\dfrac{1}{2}.x.{S_{ABB'}}}}{{2{S_{ABB'}}}} = \dfrac{1}{6}x\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{6}x = \dfrac{5}{{12}}x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{5}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
