Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy

Câu hỏi số 482880:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(H,\,\,K,\,\,L\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SC,\,\,SD\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HKL\) và có đỉnh thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích của khối nón \(\left( N \right)\).

A. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{{48}}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482880

Phương pháp giải

- Chứng minh tứ giác \(AHKL\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) là trung điểm của \(AK\). \( \Rightarrow \) Đáy của hình nón \(\left( N \right)\) cũng chính là đường tròn tâm \(O\), bán kinh \(R = \dfrac{1}{2}AK\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính \(AK\).

- Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ đường thẳng song song với \(SC\) cắt \(AC\) tại \(I\), chứng minh \(I\) là đỉnh hình nón \(\left( N \right)\). Sử dụng tính chất đường trung bình tính đường cao hình nón \(\left( N \right)\) là \(h = IO\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HK\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có \(BL \bot LK\).

\( \Rightarrow \) \(AHKI\)là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) là trung điểm của \(AK\).

\( \Rightarrow \) Đáy của hình nón \(\left( N \right)\) cũng chính là đường tròn tâm \(O\), bán kinh \(R = \dfrac{1}{2}AK\).

Ta có: \(SA = a\sqrt 2 ;\) \(AC = a\sqrt 2 \) (do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\).

\( \Rightarrow SC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a\) và \(AK = \dfrac{1}{2}SC = a\) (đường cao đồng thời là trung tuyến).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy hình nón \(\left( N \right)\) là \(R = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{1}{2}a\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\\AK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHKL} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ đường thẳng song song với \(SC\) cắt \(AC\) tại \(I\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ABCD} \right)\\OI//SC \Rightarrow OI \bot \left( {AHKL} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I\) là đỉnh của hình nón \(\left( N \right)\) và \(IO\) là đường cao của hình nón \(\left( N \right)\).

Dễ thầy \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(AKC\) nên \(OI = \dfrac{1}{2}KC = \dfrac{1}{4}SC = \dfrac{a}{2} = h\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .{R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{a}{4} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{48}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.