Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = \left| {1 - i.\overline z }

Câu hỏi số 483254:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3i} \right| = \left| {1 - i.\overline z } \right|\) và \(z - \dfrac{9}{z}\) là số thuần ảo?

A. \(0\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483254

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x - yi\,\,\left( {z \ne 0} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

- Dựa vào giả thiết \(\left| {z - 3i} \right| = \left| {1 - i.\overline z } \right|\) tìm \(y\).

- Tính cụ thể phần thực, phần ảo của số phức \(z - \dfrac{9}{z}\), giải phương trình phần thực bằng 0 tìm \(x\(.

Giải chi tiết

Đặt \(z = x - yi\,\,\left( {z \ne 0} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z - 3i} \right| = \left| {1 - i.\overline z } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 3i} \right| = \left| {1 - i.\left( {x - yi} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 3i} \right| = \left| {1 - y - xi} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {1 - y} \right)^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 3 = 1 - y\\y - 3 = y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\vo\,\,nghiem\end{array} \right.\end{array}\)

Ta lại có:

\(z - \dfrac{9}{z} = x + 2i - \dfrac{9}{{x + 2i}} = x + 2i - \dfrac{{9\left( {x - 2i} \right)}}{{{x^2} + 4}} = x - \dfrac{{9x}}{{{x^2} + 4}} + \left( {2 + \dfrac{{18}}{{{x^2} + 4}}} \right)i\) là số thuần ảo.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x - \dfrac{{9x}}{{{x^2} + 4}} = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 - \dfrac{9}{{{x^2} + 4}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 4 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.