Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).

Câu hỏi số 483258:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\). Từ điểm \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(\left( \Delta \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + t\\y = - t\\z = 10 + t\end{array} \right.\), kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) tới mặt cầu \(\left( S \right)\) với \(B,\,\,C,\,\,D\) là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) luôn chứa một đường thẳng cố định. Góc giữa đường thẳng cố định với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) bằng:

A. \({60^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({45^0}\)

D. \({90^0}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483258

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) \( \Rightarrow M \in \left( S \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).

- Tham số hóa tọa độ \(A \in \Delta \) theo biến \(t\).

- Giải phương trình \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {OM} = 0\) suy ra phương trình đường thẳng cố định nằm trong \(\left( {BCD} \right)\).

- Tính \(\sin \left( {d;\left( {Oxy} \right)} \right) = \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow i } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}}\( với \(\overrightarrow u \( là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(M \in \left( S \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\).

Vì \(A \in \Delta \Rightarrow A\left( {10 + t;\,\, - t;\,\,10 + t} \right)\).

Vì \(AM\) là tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 5\) nên \(AM \bot OM \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {OM} = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 10 - t;\,\,y + t;\,\,z - 10 - t} \right),\,\,\overrightarrow {OM} = \left( {x;y;z} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x\left( {x - 10 - t} \right) + y\left( {y + t} \right) + z\left( {z - 10 - t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x - tx + {y^2} + ty + {z^2} - 10z - tz = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x - 10z - t\left( {x - y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 25 - 10x - 10z - t\left( {x + y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\10x + 10z = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\2x + 2z = 5\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\2x + 2y = 5\end{array} \right.\) cố định.

Ta có: \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\2x + 2z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = t\\y = x + t\\2x = - 2z + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - 2t + 5\\y = x + t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2} - t\\y = \dfrac{5}{2}\\z = t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;1} \right)\).

Khi đó ta có \(\sin \left( {d;\left( {Oxy} \right)} \right) = \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow i } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \dfrac{{\left| { - 1.1 + 0.0 + 1.0} \right|}}{{\sqrt 2 .1}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\(.

Vậy \(\angle \left( {d;\left( {Oxy} \right)} \right) = {45^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.