Cho hàm số \(y = \left| {2{x^3} - 3{x^2} + 6\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2021} \right|\). Gọi \(S\) là tập

Câu hỏi số 483259:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \left| {2{x^3} - 3{x^2} + 6\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2021} \right|\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng bình phương tất cả các phần tử của \(S\) bằng:

A. \(2021\)

B. \(0\)

C. \(335\)

D. \(670\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483259

Phương pháp giải

- Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 6\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2021\) trên \(\left[ { - 1;0} \right]\).

- Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right);\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right)} \right\}\).

- Xét từng TH, từng \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|\) trong từng trường hợp và tìm \(\min \left( {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|} \right)\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 6\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2021\) ta có \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6x + 6\left( {{m^2} + 1} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 6\left( {{x^2} - x + 1 + {m^2}} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;0} \right),\,\,\forall m\) do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 1;0} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 6{m^2} + 2010\\\,\,\,\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2021\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| { - {m^2} + 2010} \right|;2021} \right\}\).

TH1:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| { - {m^2} + 2010} \right|\\\left| { - 6{m^2} + 2010} \right| \ge 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| { - {m^2} + 2010} \right|\\\left[ \begin{array}{l} - 6{m^2} + 2010 \ge 2021\\ - 6{m^2} + 2010 \le - 2021\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| { - 6{m^2} + 2010} \right|\\\left[ \begin{array}{l}6{m^2} \le - 1\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\ - 6{m^2} + 2010 \le - 2021\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| { - 6{m^2} + 2010} \right|\\{m^2} \ge \dfrac{{4031}}{6}\end{array} \right.\\ \Rightarrow - 6{m^2} + 2010 \le - 2021\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| \ge 2021\,\,\forall {m^2} \ge \dfrac{{4031}}{6}\\ \Rightarrow \min \left( {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = 2021 \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{{4031}}{6}\end{array}\)

TH2:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2021\\2021 \ge \left| { - 6{m^2} + 2010} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2021\\ - 2021 \le - 6{m^2} + 2010 \le 2021\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2021\\ - \dfrac{1}{6} \le {m^2} \le \dfrac{{4031}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2021\\0 \le {m^2} \le \dfrac{{4031}}{6}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \min \left( {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|} \right) = 2021 \Leftrightarrow 0 \le {m^2} \le \dfrac{{4031}}{6}\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ { - \sqrt {\dfrac{{4031}}{6}} ;\sqrt {\dfrac{{4031}}{6}} } \right]\).

Do \(S\) là tập đối xứng nên tổng các phần tử của \(S\) bằng 0.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.