Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\) với \(m\) là số thực.

Câu hỏi số 483260:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\) với \(m\) là số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.

Gọi \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3}\) lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \(m = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản sao cho \({S_1} + {S_3} = {S_2}\). Đặt \(T = a + b\). Mệnh đề nào đúng?

A. \(T \in \left( {8;10} \right)\)

B. \(T \in \left( {10;13} \right)\)

C. \(T \in \left( {4;6} \right)\)

D. \(T \in \left( {6;8} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483260

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, đặt \(t = {x^2}\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \(t\) có 2 nghiệm dương phân biệt.

- Giả sử \({t_1} < {t_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \( - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \(.

- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) để tính \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3}\).

- Thay vào giải phương trình \({S_1} + {S_3} = {S_2}\) tìm \({t_2}\), từ đó tìm được \(m\) và suy ra \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {x^2}\) ta có \({t^2} - 3t + m = 0\,\,\left( 2 \right)\).

Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 9 - 4m > 0\\S = 3 > 0\\P = m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{9}{4}\).

Giả sử \({t_1} < {t_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \( - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \(.

Do tính đối xứng nên ta dễ có

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_3} = \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {\left( { - {x^4} + 3{x^2} - m} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - mx} \right)} \right|_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{5}\left( {t_2^2\sqrt {{t_2}} - t_1^2\sqrt {{t_1}} } \right) + \left( {{t_2}\sqrt {{t_2}} - {t_1}\sqrt {{t_1}} } \right) - m\left( {\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} } \right)\end{array}\(

\(\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } {\left( {{x^4} - 3{x^2} + m} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)} \right|_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} }\\\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\dfrac{{t_1^2\sqrt {{t_1}} }}{5} - {t_1}\sqrt {{t_1}} + m\sqrt {{t_1}} } \right)\end{array}\)

Theo bài ra tc ó: \({S_1} + {S_3} = 2{S_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{5}\left( {t_2^2\sqrt {{t_2}} - t_1^2\sqrt {{t_1}} } \right) + \left( {{t_2}\sqrt {{t_2}} - {t_1}\sqrt {{t_1}} } \right) - m\left( {\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} } \right) = \dfrac{{t_1^2\sqrt {{t_1}} }}{5} - {t_1}\sqrt {{t_1}} + m\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{5}t_2^2\sqrt {{t_2}} + {t_2}\sqrt {{t_2}} - m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( { - \dfrac{1}{5}t_2^2 + {t_2} - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{5}t_2^2 + {t_2} - m = 0\,\,\left( 3 \right)\,\,\left( {do\,\,{t_2} > 0} \right)\end{array}\(

Vì \({t_2}\) là nghiệm của phương trình (2) nên \(t_2^2 - 3{t_2} + m = 0 \Leftrightarrow m = - t_2^2 + 3{t_2}\).

Thay vào (3) ta có:

\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{5}t_2^2 + {t_2} + t_2^2 - 3{t_2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{5}t_2^2 - 2{t_2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_2} = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\{t_2} = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\(

Khi đó \(m = - t_2^2 + 3{t_2} = - {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + 3.\dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{4}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow a = 5,\,\,b = 4\).

Vậy \(T = a + b = 5 + 4 = 9 \in \left( {8;10} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.