Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2}

Câu hỏi số 483262:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x - 2} + 1} \right) - 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{\ln \left( {{y^2} + 2} \right)}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {800;900} \right)\)

B. \(\left( {500;600} \right)\)

C. \(\left( {700;800} \right)\)

D. \(\left( {600;700} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483262

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định.

- Biến đổi phương trình và xét hàm đặc trưng, biểu diễn \(y\) theo \(x\).

- Đưa biểu thức \(P\) chỉ còn chứa biến \(x\), xét hàm số, lập BBT và tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} > 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\y > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x - 2} + 1} \right) - 2\\ \Leftrightarrow \log \sqrt {x - 2} - \log y - 2 = {y^2} - \left( {x - 2} \right) + y - \sqrt {x - 2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) + \sqrt {x - 2} + \log \sqrt {x - 2} = {y^2} + y + \log y\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^2} + t + \log t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 + \dfrac{1}{{t\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {\sqrt {x - 2} } \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = y \Leftrightarrow x - 2 = {y^2} \Leftrightarrow x = {y^2} + 2 > 2\).

Khi đó ta có: \(P = \dfrac{{\ln \left( {{y^2} + 2} \right)}}{{\sqrt[{2021}]{x}}} = \dfrac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\).

Xét hàm số \(P\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) với \(x > 2\) ta có: \(P'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt[{2021}]{x}}}{x} - \dfrac{1}{{2021}}.{x^{\dfrac{{ - 2020}}{{2021}}}}\ln x}}{{{{\left( {\sqrt[{2021}]{x}} \right)}^2}}}\(

\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt[{2021}]{x}}}{x} - \dfrac{1}{{2021}}.\dfrac{1}{{{x^{\dfrac{{2020}}{{2021}}}}}}\ln x = 0 \Leftrightarrow 2021x - x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = {e^{2021}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

BBT:

Vậy \({P_{\max }} \in \left( {700;800} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.