Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2}
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x - 2} + 1} \right) - 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{\ln \left( {{y^2} + 2} \right)}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Tìm điều kiện xác định.
- Biến đổi phương trình và xét hàm đặc trưng, biểu diễn \(y\) theo \(x\).
- Đưa biểu thức \(P\) chỉ còn chứa biến \(x\), xét hàm số, lập BBT và tìm GTLN của hàm số.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} > 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\y > 0\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{100y}} = \left( {y - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x - 2} + 1} \right) - 2\\ \Leftrightarrow \log \sqrt {x - 2} - \log y - 2 = {y^2} - \left( {x - 2} \right) + y - \sqrt {x - 2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) + \sqrt {x - 2} + \log \sqrt {x - 2} = {y^2} + y + \log y\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^2} + t + \log t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 + \dfrac{1}{{t\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(f\left( {\sqrt {x - 2} } \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = y \Leftrightarrow x - 2 = {y^2} \Leftrightarrow x = {y^2} + 2 > 2\).
Khi đó ta có: \(P = \dfrac{{\ln \left( {{y^2} + 2} \right)}}{{\sqrt[{2021}]{x}}} = \dfrac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\).
Xét hàm số \(P\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) với \(x > 2\) ta có: \(P'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt[{2021}]{x}}}{x} - \dfrac{1}{{2021}}.{x^{\dfrac{{ - 2020}}{{2021}}}}\ln x}}{{{{\left( {\sqrt[{2021}]{x}} \right)}^2}}}\(
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt[{2021}]{x}}}{x} - \dfrac{1}{{2021}}.\dfrac{1}{{{x^{\dfrac{{2020}}{{2021}}}}}}\ln x = 0 \Leftrightarrow 2021x - x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = {e^{2021}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
BBT:
Vậy \({P_{\max }} \in \left( {700;800} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
