Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left| {z + \overline z + 2} \right| + 2\left| {z - \overline z - 2i}

Câu hỏi số 483264:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left| {z + \overline z + 2} \right| + 2\left| {z - \overline z - 2i} \right| \le 12\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 4 - 4i} \right|\). Tính \(M + m\).

A. \(\sqrt 5 + \sqrt {130} \)

B. \(5 + \sqrt {61} \)

C. \(\sqrt {10} + \sqrt {130} \)

D. \(\sqrt {10} + \sqrt {61} \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483264

Giải chi tiết

Sưu tầm nhóm Toán VD – VDC

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\( và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z + \overline z + 2} \right| + 2\left| {z - \overline z - 2i} \right| \le 12 \Leftrightarrow \left| {2x + 2} \right| + 2\left| {2yi - 2i} \right| \le 12\\ \Leftrightarrow 2\left| {x + 1} \right| + 4\left| {\left( {y - 1} \right)i} \right| \le 12 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| + 2\left| {y - 1} \right| \le 6\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi \(ABCD\) với \(A\left( { - 7;1} \right)\), \(B\left( { - 1; - 2} \right)\), \(C\left( {5;1} \right)\), \(D\left( { - 1;4} \right)\) như hình vẽ sau:

Gọi \(I\left( {4;4} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(4 + 4i\), khi đó ta có \(P = \left| {z - 4 - 4i} \right| = MI\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(CD\), với \(CD\) là đường thẳng có phương trình \(x + 2y - 7 = 0\).

Khi đó ta có \(MI = d\left( {I;CD} \right) = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow {P_{\min }} = \sqrt 5 = m\).

Tiếp tục ta thấy \(MI\) đạt GTLN khi \(M \equiv A,\,\,\)khi đó \({P_{\max }} = IA = \sqrt {130} = M\).

Vậy \(M + m = \sqrt 5 + \sqrt {130} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.