Giá trị của biểu thức \(A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}\) bằng

Câu hỏi số 483764:

Thông hiểu

A. \(\dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}\)

B. \(\dfrac{{12 - 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{{12 - 2\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}\)

D. \(\dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483764

Phương pháp giải

Áp dụng công thức \({\tan ^2}\alpha + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) và \({\cot ^2}\alpha + 1 = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}\\ = \dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1 + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1\\ = \left( {\dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}}} \right) - 2\end{array}\)

\( = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{\pi }{{24}}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{\pi }{{24}}.{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 2\)\( = \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{12}}}} - 2\)\( = \dfrac{8}{{1 - c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{6}}} - 2\)

\( = \dfrac{8}{{1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} - 2\)\( = \dfrac{8}{{\dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}} - 2\)\( = \dfrac{{16}}{{2 - \sqrt 3 }} - 2\)\( = \dfrac{{16 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)\( = \dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)

Vậy \(A = \dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.