Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin

Câu hỏi số 483773:

Vận dụng

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \) ta được kết quả là

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483773

Phương pháp giải

Để đơn giản hơn biến đổi lần lượt từng số hạng bằng cách áp dụng công thức cơ bản \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} \\ = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a + 2{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 4\sin a{{\cos }^3}a} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a + 6{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 4\sin a{{\cos }^3}a} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 6{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a{{\cos }^3}a + {{\cos }^4}a} \\ = \sqrt {{{\left( {\sin a + \cos a} \right)}^4}} \\ = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6\left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){{\sin }^2}a - 4\sin a\cos a\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6{{\sin }^2}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a + {{\sin }^4}a} \\ = \sqrt {{{\left( {\cos a - \sin a} \right)}^4}} \\ = {\left( {\cos a - \sin a} \right)^2}\end{array}\)

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} + {\left( {\cos a - \sin a} \right)^2}\\ = {\sin ^2}a + 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a + {\sin ^2}a - 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a\\ = 2\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)\\ = 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10