Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin

Câu hỏi số 483773:

Vận dụng

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \) ta được kết quả là

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483773

Phương pháp giải

Để đơn giản hơn biến đổi lần lượt từng số hạng bằng cách áp dụng công thức cơ bản \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} \\ = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a + 2{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 4\sin a{{\cos }^3}a} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a + 6{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 4\sin a{{\cos }^3}a} \\ = \sqrt {{{\sin }^4}a + 4{{\sin }^3}a\cos a + 6{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a{{\cos }^3}a + {{\cos }^4}a} \\ = \sqrt {{{\left( {\sin a + \cos a} \right)}^4}} \\ = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6\left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){{\sin }^2}a - 4\sin a\cos a\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a - 6{{\sin }^2}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\sin }^2}a} \\ = \sqrt {{{\cos }^4}a - 4\sin a{{\cos }^3}a + 6{{\cos }^2}a{{\sin }^2}a - 4{{\sin }^3}a\cos a + {{\sin }^4}a} \\ = \sqrt {{{\left( {\cos a - \sin a} \right)}^4}} \\ = {\left( {\cos a - \sin a} \right)^2}\end{array}\)

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + 4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4\sin a\cos a} + \sqrt {{{\cos }^4}a - 5{{\sin }^4}a - 4\sin a\cos a + 6{{\sin }^2}a} \\ = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} + {\left( {\cos a - \sin a} \right)^2}\\ = {\sin ^2}a + 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a + {\sin ^2}a - 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a\\ = 2\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)\\ = 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.