Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {4;1;3} \right),\,\,B\left( {2;1;5} \right)\) và \(C\left( {4;3;

Câu hỏi số 484069:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {4;1;3} \right),\,\,B\left( {2;1;5} \right)\) và \(C\left( {4;3; - 3} \right)\) không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình là

A. \(2x - y - z - 1 = 0\)

B. \(2x - 2z - 1 = 0\)

C. \(x - z + 1 = 0\)

D. \(x + y - z + 3 = 0\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

- Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\I \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\) tìm tâm \(I\).

- Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;2; - 6} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4; - 12; - 4} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;3;1} \right)\) là 1 VTPT.

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(1\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 10 = 0\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\I \in ABC\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2}\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2}\\x + 3y + z - 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4z = 4\\4y - 12z = 8\\x + 3y + z - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{6}{{11}}\\y = \dfrac{{37}}{{11}}\\z = \dfrac{5}{{11}}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua \(I\)và vuông góc với \(AB\) là:

\( - 2\left( {x + \dfrac{6}{{11}}} \right) + 2\left( {z - \dfrac{5}{{11}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow x - z + 1 = 0\)

Xem lời giải

Câu hỏi:484069

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.