Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 =

Câu hỏi số 484103:

Vận dụng

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\\2x + 3y - 14 \le 0\end{array} \right.\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 2;2} \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

C. \(\left( {1;3} \right)\)

D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Rút \(y\) theo \(x\) từ phương trình thứ nhất, thế vào bất phương trình thứ hai tìm khoảng giá trị của \(x\).

- Thế \(y\) theo \(x\) vào biểu thức \(P\), đưa biểu thức \(P\) về 1 biến \(x\), sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Giải chi tiết

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy + 3 = 0\\2x + 3y - 14 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\\2x + \dfrac{{3{x^2} + 9}}{x} - 14 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\\2{x^2} + 3{x^2} + 9 - 14x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\\1 \le x \le \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\\P = \left( {{x^2} - xy + 3} \right)y + 2{x^2}y - 2{x^3} + 2x - 3y\\P = 2{x^2}y - 2{x^3} + 2x - 3y\\P = 2{x^2}.\dfrac{{{x^2} + 3}}{x} - 2{x^3} + 2x - 3.\dfrac{{{x^2} + 3}}{x}\\P = 2{x^3} + 6x - 2{x^3} + 2x - 3x - \dfrac{9}{x}\\P = 5x - \dfrac{9}{x}\end{array}\)

Xét hàm số \(P = 5x - \dfrac{9}{x}\) với \(1 \le x \le \dfrac{9}{5}\). Ta có: \(P' = 5 + \dfrac{9}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x\) nên hàm số đồng biến \(\left( {1;\dfrac{9}{5}} \right)\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\dfrac{9}{5}} \right]} P = P\left( 1 \right) = - 4\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\dfrac{9}{5}} \right]} P = P\left( {\dfrac{9}{5}} \right) = 4\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\dfrac{9}{5}} \right]} P + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\dfrac{9}{5}} \right]} P = 0 \in \left( { - 2;2} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:484103

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.