Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc

Câu hỏi số 484586:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(\sin \varphi \) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{5}\)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{5}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484586

Phương pháp giải

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất tam giác đều, định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) đều).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {ABC} \right),\,\,SM \bot BC\\SM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = \varphi \end{array}\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có \(\sin \varphi = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.