Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin

Câu hỏi số 484599:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \) bằng:

A. \(4\)

B. \(8\)

C. \(2\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484599

Phương pháp giải

- Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \), đổi biến \(t = {\cos ^2}x\). Tính được \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \), phân tích \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \)

- Tiếp tục đổi biến hoặc đưa biến vào vi phân, biểu diễn \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \) theo \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) và tính.

Giải chi tiết

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \).

Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)dx = - \sin 2xdx\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\).

Khi đó ta có \(I = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \\ = 2\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( { - 3{x^2} + 5} \right)dx} \\ = - 2\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right)} + 4\\ = - 2\int\limits_1^0 {f\left( u \right)du} + 4\\ = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 4\\ = 2.1 + 4 = 6\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.