Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 3. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 3. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB,\,\,AC\) sao cho mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) luôn vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Thể tích của khối tứ diện \(DAMN\) có giá trị lớn nhất bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sưu tầm Fb Nguyễn Hồng Hiên
Trong \(\left( {DMN} \right)\) kẻ \(DH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {DMN} \right) \bot \left( {ABC} \right) = MN\\DH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right)\).
Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên ta dễ dàng chứng minh được \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Giả sử \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AN} = y\overrightarrow {AC} \,\,\left( {0 < x,y \le 1} \right)\).
Ta có \({V_{D.AMN}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta AMN}}\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(3\) nên \(AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) không đổi nên \({V_{DAMN}}\) đạt max khi \({S_{\Delta AMN}}\) đạt max.
Ta có \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN.\sin \angle MAN \le \dfrac{1}{2}3x.3y.\sin {60^0} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}xy\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AM} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - x\overrightarrow {AB} = \left( {\dfrac{1}{3} - x} \right)\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AB} \end{array}\)\
Vì \(\overrightarrow {MH} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) cùng phương nên suy ra \(\dfrac{{\dfrac{1}{3} - x}}{{ - x}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{y} \Rightarrow y = \dfrac{x}{{3x - 1}}\).
Lại có \(0 < y \le 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{x}{{3x - 1}} \le 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{x} \le x \le 1\).
Khi đó ta có \({S_{\Delta AMN}} \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}xy \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{x^2} - 1}}{{3x - 1}}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\) với \(x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 2x}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2},\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2};\,\,f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{4}{9}\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\) hay \(f\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{8} \Rightarrow {\left( {{S_{\Delta AMN}}} \right)_{\max }} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{8}\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\).
Vậy \({\left( {{V_{D.AMN}}} \right)_{\max }} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 6 .\dfrac{{9\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
