Cho tam giác nhọn \(ABC\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \tan A.\tan B.\tan C\) là

Câu hỏi số 484629:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(3\)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484629

Phương pháp giải

Sử dụng: \(\angle A + \angle B = \pi - \angle C\)\( \Rightarrow \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\) sau đó áp dụn công thức cộng để chứng minh được \(P = \tan A + \tan B + \tan C\).

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A + \angle B = \pi - \angle C\\\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {A + B} \right) = - \tan C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} = - \tan C\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B = - \tan C\left( {1 - \tan A.\tan B} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan A + \tan B = - \tan C + \tan A.\tan B.\tan C\\ \Leftrightarrow \tan A.\tan B.\tan C = \tan A + \tan B + \tan C\\ \Rightarrow P = \tan A + \tan B + \tan C\end{array}\)

Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc nhọn nên \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\) ta được:

\(\begin{array}{l}\tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}}\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{P}\\ \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{P}.\sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow {P^2} \ge 27 \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).

Vậy \(\min P = 3\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10