Cho tam giác nhọn \(ABC\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \tan A.\tan B.\tan C\) là

Câu hỏi số 484629:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(3\)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484629

Phương pháp giải

Sử dụng: \(\angle A + \angle B = \pi - \angle C\)\( \Rightarrow \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\) sau đó áp dụn công thức cộng để chứng minh được \(P = \tan A + \tan B + \tan C\).

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A + \angle B = \pi - \angle C\\\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi - C} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {A + B} \right) = - \tan C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} = - \tan C\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B = - \tan C\left( {1 - \tan A.\tan B} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan A + \tan B = - \tan C + \tan A.\tan B.\tan C\\ \Leftrightarrow \tan A.\tan B.\tan C = \tan A + \tan B + \tan C\\ \Rightarrow P = \tan A + \tan B + \tan C\end{array}\)

Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc nhọn nên \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\) ta được:

\(\begin{array}{l}\tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}}\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{P}\\ \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{P}.\sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow {P^2} \ge 27 \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).

Vậy \(\min P = 3\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.