Cho bất đẳng thức \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) +

Câu hỏi số 484628:

Vận dụng cao

Cho bất đẳng thức \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \le 0\) với \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\angle B + \angle C = {120^ \circ }\)

B. \(\angle B + \angle C = {130^ \circ }\)

C. \(\angle A + \angle B = {120^ \circ }\)

D. \(\angle A + \angle C = {140^ \circ }\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484628

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\) để chứng minh chứng minh được bất đẳng thức \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \ge 0\). Kết hợp với điều kiện để bài để tính được \(\angle A,\,\,\angle B\).

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác để tính được \(\angle C\). Từ đó rút ra kết luận.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4}\\ = 2{\cos ^2}A - 1 + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2 - 4{{\sin }^2}B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4}\\ = \left( {2{{\cos }^2}A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \dfrac{3}{4}} \right) + \left( {4{{\sin }^2}B - 4\sin B + 1} \right)\\ = \dfrac{{{{\left( {4{{\cos }^2}A - 1} \right)}^2}\left( {8{{\cos }^2}A + 1} \right)}}{{64{{\cos }^4}A}} + {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow \cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \ge 0\end{array}\)

Mà \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \le 0\) nên \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} = 0\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {4{{\cos }^2}A - 1} \right)}^2}\left( {8{{\cos }^2}A + 1} \right)}}{{64{{\cos }^4}A}} + {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\cos ^2}A - 1 = 0\\2\sin B - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\cos ^2}A = 1\\2\sin B = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\\\sin B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \dfrac{1}{2}\\\sin B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle A = {60^ \circ }\\\angle B = {30^ \circ }\end{array} \right.\)

Mà \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^ \circ }\)\( \Leftrightarrow \angle C = {90^ \circ }\).

\( \Rightarrow \angle B + \angle C = {120^ \circ },\)\(\angle A + \angle B = {90^ \circ },\)\(\,\angle A + \angle C = {150^ \circ }\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10