Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1}

Câu hỏi số 485466:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f'\left( {\sqrt x } \right)dx} \) bằng:

A. \(2\)

B. \( - 2\)

C. \( - 1\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485466

Phương pháp giải

- Đổi biến \(t = \sqrt x \).

- Tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx \Rightarrow dx = 2\sqrt x dt = 2tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( {\sqrt x } \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f'\left( t \right)tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\). Ta có:

\(I = 2\left[ {\left. {tf\left( t \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = 2\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right) = 2\left( {1 - 2} \right) = - 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.