Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {1;2021} \right]\), thỏa

Câu hỏi số 485467:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {1;2021} \right]\), thỏa mãn \(f\left( {2021} \right) = g\left( {2021} \right) = 0\), \(\dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) + 2020x = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) và \(\dfrac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'\left( x \right) + f\left( x \right) = 2021{x^2}\) với mọi \(x \in \left[ {1;2021} \right]\). Tích phân \(\int\limits_1^{2021} {\left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{1}{2}{.2021^2} - 2021 + \dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{2}{.2020^2} - 2020 + \dfrac{1}{2}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}{.2020^2} + 2020 - \dfrac{1}{2}\)

D. \( - \dfrac{1}{2}{.2020^2} + 2021 - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485467

Phương pháp giải

- Từ hai biểu thức đề bài cho, biến đổi để tìm \(\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right)} \right)' + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)'\), sử dụng công thức đạo hàm của một tích.

- Lấy nguyên hàm hai vế, tìm \(\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)\). Từ đó tính tích phân cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) + 2020x = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) = - 2020\,\,\,\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'\left( x \right) + f\left( x \right) = 2021{x^2}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 2021\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}g\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'.g\left( x \right) + \dfrac{x}{{x + 1}}g'\left( x \right) + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}} \right)'.f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f'\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right)} \right)' + \left( { - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right) = x + C\end{array}\)

Thay \(x = 2021\) ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2021}}{{2022}}g\left( {2021} \right) - \dfrac{{2022}}{{2021}}f\left( {2021} \right) = 2021 + C\\ \Leftrightarrow 0 = 2021 + C \Leftrightarrow C = - 2021\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right) = x - 2021\).

Vậy \(\int\limits_1^{2021} {\left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}g\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{x}f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^{2021} {\left( {x - 2021} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2021x} \right)} \right|_1^{2021}\) \( = - \dfrac{1}{2}{.2021^2} + 2021 - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.