Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 2\) và \(f'\left( 1

Câu hỏi số 485468:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 2\) và \(f'\left( 1 \right) = 0\). Hàm số \(f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(7\)

B. \(6\)

C. \(9\)

D. \(11\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485468

Phương pháp giải

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021} \right|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) và số nghiệm của phương trình \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021 = 0\) (không tính nghiệm kép).

Giải chi tiết

Giả sử \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào BBT và các giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow d = 2\\f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b + c = 0\\ - \dfrac{{2b}}{{2.3a}} = 0\\f'\left( 0 \right) = - 3 \Rightarrow c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\d = 2\\c = - 3\\a = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) ta có

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 6f\left( x \right)f'\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3f\left( x \right).f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + 2 = 0\\3{x^2} - 3 = 0\\{x^3} - 3x + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - 1\\x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) có 2 điểm cực trị dương.

\( \Rightarrow \) Hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) có 5 điểm cực trị.

Ta có BBT hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3{f^2}\left( x \right) - 2021\) như sau:

Dựa vào BBT suy ra BBT hàm số \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \({f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( {\left| x \right|} \right) - 3{f^2}\left( {\left| x \right|} \right) - 2021} \right|\) có tất cả \(5 + 2 = 7\) điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.