Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong

Câu hỏi số 485469:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\) bằng

A. \(12f\left( { - 1} \right) + 2026\)

B. \(12f\left( { - 3} \right) + 1958\)

C. \(12f\left( 1 \right) + 2022\)

D. \(f\left( { - 1} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485469

Phương pháp giải

- Xét hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\), tính \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Đặt \(t = 2x\), đưa phương trình về dạng \(f'\left( t \right) = h\left( t \right)\).

- Tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số.

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) trên \(\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\) và tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]} g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 24f'\left( {2x} \right) + 96{x^2} + 24x - 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12\left[ {2f'\left( {2x} \right) + 8{x^2} + 2x - 1} \right]\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( {2x} \right) + 8{x^2} + 2x - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = 2x \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2f'\left( t \right) + 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - {t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\,\,\left( {**} \right)\).

Vì \(t \in \left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 3;1} \right]\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = - {t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\) trên cùng hệ trục tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = - 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{3}{2}\\x = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có BBT hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 12f\left( { - 1} \right) + 2026\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.