Có bao nhiêu số nguyên \(a\,\,\left( {a \ge 2} \right)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn \(\ln

Câu hỏi số 485470:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\,\,\left( {a \ge 2} \right)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn

\(\ln \left( {{a^{\log {x^4}}} + 4{a^{\log {x^2}}} + 4} \right) = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\log a}}?\)

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485470

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

ĐKXĐ: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\ln \left( {{a^{\log {x^4}}} + 4{a^{\log {x^2}}} + 4} \right) = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\log a}}\\ \Leftrightarrow \ln \left( {{a^{4\log x}} + 4{a^{2\log x}} + 4} \right) = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\log a}}\\ \Leftrightarrow \ln \left[ {{{\left( {{a^{2\log x}} + 2} \right)}^2}} \right] = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\log a}}\\ \Leftrightarrow 2\ln \left( {{a^{2\log x}} + 2} \right) = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\log a}}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {a^{2\log x}} + 2\) ta có \({a^{2\log x}} = t - 2 \Leftrightarrow \log \left( {{a^{2\log x}}} \right) = \log \left( {t - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow 2\log x.\log a = \log \left( {t - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \log a = \dfrac{{\log \left( {t - 2} \right)}}{{2\log x}}\)

Thay vào (*) ta có: \(2\ln t = \dfrac{{\ln \left( {x - 2} \right)}}{{\dfrac{{\log \left( {t - 2} \right)}}{{2\log x}}}} \Leftrightarrow \ln t.\log \left( {t - 2} \right) = \ln \left( {x - 2} \right).\log x \Leftrightarrow \ln t.\ln \left( {t - 2} \right) = \ln x.\ln \left( {x - 2} \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \ln t.\ln \left( {t - 2} \right)\,\,\left( {t > 2} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{t}.\ln \left( {t - 2} \right) + \ln t.\dfrac{1}{{t - 2}} > 0\,\,\forall t > 2\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow t = x \Leftrightarrow {a^{2\log x}} + 2 = x\).

\( \Leftrightarrow x - {a^{2\log x}} = 2 \Leftrightarrow x - {x^{2\log a}} = 2 \Leftrightarrow x > {x^{2\log a}}\)

Do \(x > 2\) nên \(2\log a < 1 \Leftrightarrow \log a < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a < \sqrt {10} \).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 \le a < \sqrt {10} \\a \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow a \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của \(a\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.