Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).
Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định tâm mặt cầu.
- Sử dụng định lí Pytago, tam giác đồng dạng tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Xét tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DG \bot \left( {ABC} \right)\\CG = \dfrac{2}{3}CK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
Dựng mặt trung trực của \(CD\) cắt \(DG\) tại \(O\) \( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Xét tam giác vuông \(DGC\) có: \(DG = \sqrt {D{C^2} - G{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vì \(\Delta DOI \sim \Delta DCG\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{DC}} = \dfrac{{DI}}{{DG}} \Rightarrow \dfrac{{OD}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} \Rightarrow OD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4} = R\).
Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
