Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).
Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định tâm mặt cầu.
- Sử dụng định lí Pytago, tam giác đồng dạng tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Xét tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DG \bot \left( {ABC} \right)\\CG = \dfrac{2}{3}CK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
Dựng mặt trung trực của \(CD\) cắt \(DG\) tại \(O\) \( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Xét tam giác vuông \(DGC\) có: \(DG = \sqrt {D{C^2} - G{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vì \(\Delta DOI \sim \Delta DCG\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{DC}} = \dfrac{{DI}}{{DG}} \Rightarrow \dfrac{{OD}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} \Rightarrow OD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4} = R\).
Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
