Có bao nhiêu số phức \(z\) với phần thực là số nguyên thỏa mãn \(\left( {\overline z - 2i}

Câu hỏi số 486207:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) với phần thực là số nguyên thỏa mãn \(\left( {\overline z - 2i} \right)\left( {z - 2} \right)\) là số ảo?

A. \(2\)

B. \(6\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486207

Phương pháp giải

- Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x \in \mathbb{Z};y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, sử dụng: Số phức là số thần ảo khi có phần thực bằng 0.

- Đánh giá chặn khoảng giá trị của \(x\) và tìm \(x \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn.

- Với mỗi giá trị của \(x\) tìm \(y\) tương ứng.

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x \in \mathbb{Z};y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

Thay vào giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {\overline z - 2i} \right)\left( {z - 2} \right)\\ = \left( {x - yi - 2i} \right)\left( {x + yi - 2} \right)\\ = \left[ {x - \left( {y + 2} \right)i} \right]\left[ {\left( {x - 2} \right) + yi} \right]\\ = x\left( {x - 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + \left[ {xy - \left( {x - 2} \right)\left( {y + 2} \right)} \right]i\end{array}\)

Là số ảo \( \Rightarrow x\left( {x - 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\).

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le 2\).

\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x - 1 \le \sqrt 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 + 1 \le x \le \sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Với \(x = 0 \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 2\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 2 - 1\)

Với \(x = 2 \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 2\end{array} \right.\)

Vậy có 6 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.