Xét điểm \(M\) có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x + 1}}{{x

Câu hỏi số 486208:

Vận dụng

Xét điểm \(M\) có hoành độ là số nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) cắt đường tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\). Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(A\) cách gốc tọa độ một khoảng cách nhỏ hơn \(2\sqrt {10} \).

A. \(6\)

B. \(5\)

C. \(7\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486208

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {a \ne 1,\,\,a \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}\,\,\left( d \right)\).

- Tìm giao điểm \(A\) của \(d\) và tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( C \right)\) theo \(a\).

- Tính \(OA\), giải bất phương trình \(OA < 2\sqrt {10} \), tìm số giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {a \ne 1,\,\,a \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là: \(y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}\,\,\left( d \right)\).

Đồ thị \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = 2\).

Cho \(y = 2\) ta có

\(\begin{array}{l}2 = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a + 1}}{{a - 1}}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a - 1} \right)^2} = - 3\left( {x - a} \right) + \left( {2a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 4a + 2 = - 3x + 3a + 2{a^2} - a - 1\\ \Leftrightarrow 3x = 6a - 3\\ \Leftrightarrow x = 2a - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow A\left( {2a - 1;2} \right)\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}OA = \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4{a^2} - 4a + 5} < 2\sqrt {10} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 4a + 5 < 40\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 4a - 35 < 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{2} < a < \dfrac{7}{2}\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 2; - 1;0;2;3} \right\}\,\,\left( {a \ne 1} \right)\).

Vậy có 5 điểm \(M\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.