Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5,\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| =
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5,\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\) \(\left( {{x_1},{y_1} \in \mathbb{R}} \right)\); \({z_2} = {x_2} + {y_2}i\) \(\left( {{x_2},{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_1} + 5} \right) + {y_2}i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + 5} \right)^2} + {y_2}^2 = 25\)
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({z_1}\) là đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} = 25\)
Ta có:
\(\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_2} + 1} \right) + \left( {{y_2} - 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {{x_2} - 3} \right) + \left( {{y_2} - 6} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} + {\left( {{y_2} - 3} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_2} - 6} \right)^2} \Leftrightarrow 8{x_2} + 6{y_2} = 35\).
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(\Delta :8x + 6y = 35\).
\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 5;0} \right)\), bán kính \(R = 5\).
Khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là \(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {8.\left( { - 5} \right) + 6.0 - 35} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{75}}{{10}} = \dfrac{{15}}{2} > R\)
Suy ra \(\Delta \) không cắt \(\left( C \right)\).
Do đó, nếu gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(\Delta \), \(d\) cắt \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) lần lượt tại \(M,N\) và \(H\) thì một trong hai đoạn thẳng \(HM,HN\) là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\) và \(\Delta \).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là:
\({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|_{\min }} = HM = d\left( {I,\Delta } \right) - R = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
