Hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a,\widehat {ACB} = {30^0}\) và
Hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a,\widehat {ACB} = {30^0}\) và \(SA = SB = SD\) với \(D\) là trung điểm \(BC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{4}\). Tính \(\cos \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(D\) là trung điểm \(BC\) và \(\widehat {ACB} = {60^0}\)
\( \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\) và \(BC = 2a,CA = a\sqrt 3 \)
Dựng \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H \in \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow H\) là tâm tam giác đều \(BAD\) do \(SA = SB = SD\)
Gọi hình chiếu của \(H\) lên \(AB,AC\) thứ tự là \(E,F\)
Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(BD\)
\( \Rightarrow AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(HE = HM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Ta có: \(SH \bot BC,AM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Kẻ \(MN \bot SA\) \(\left( {N \in SA} \right)\) thì \(MN\) là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\) hay \(MN = \dfrac{{3a}}{4}\)
\( \Rightarrow NA = \sqrt {M{A^2} - M{N^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Trong tam giác \(SAM\) có \(MN,SH\) là hai đường cao nên \(AH.AM = AN.AS\)
\( \Rightarrow AS = \dfrac{{AH.AM}}{{AN}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = a\).
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại \(A\) và các trục tọa độ như hình vẽ với tia \(Ox\) trùng với tia \(AB\), tia \(Oy\) trùng với tia \(AC\) và tia \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và có hướng theo \(\overrightarrow {HS} \)
Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng \(a\).
Khi đó: \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)
Do \(HF = AE = \dfrac{a}{2},HE = HM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(SH = a\) nên \(S\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{6};1} \right)\)
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;0; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là:
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( { - \sqrt 3 ; - 1; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), ta có:
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
