1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 487543:

Vận dụng cao

1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 1,m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) sao cho \(OI = \sqrt {10} \), với \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\)

2. Cho phương trình bậc hai \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) có nghiệm kép, trong đó \(x\) là ẩn số và \(a,b,c\) là các tham số. Chứng minh rằng \(a = b = c.\)

3. Cho \(x,y\) là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: \({x^2} + {y^2} + xy = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^2} + {y^2} - xy\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487543

Phương pháp giải

1. Sử dụng hệ thức Vi – ét

2. Sử dụng đánh giá cơ bản \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)

3. Ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN, GTNN

Giải chi tiết

1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 1,m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) sao cho \(OI = \sqrt {10} \), với \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\): \({x^2} = 2mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 1 = 0.\)

Vì \(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, hay \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right);B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\).

Theo hệ thức Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{2m}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4{m^2} + 2}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {4{m^4} + 5{m^2} + 1} \end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}OI = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 5{m^2} + 1 = 10\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {4{m^2} + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 1\).

2. Cho phương trình bậc hai \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) có nghiệm kép, trong đó \(x\) là ẩn số và \(a,b,c\) là các tham số. Chứng minh rằng \(a = b = c.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x\left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\end{array}\)

Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a = b = c.\end{array}\)

Hoàn tất chứng minh.

3. Cho \(x,y\) là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: \({x^2} + {y^2} + xy = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^2} + {y^2} - xy\).

Xét \(\frac{M}{3} = \frac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{3} = \frac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\)

Nếu \(y = 0 \Rightarrow M = 3\)

Nếu \(y \ne 0:\frac{M}{3} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{x}{y} + 1}}\)

Đặt \(\frac{x}{y} = t \Rightarrow \frac{M}{3} = \frac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}} \Rightarrow \left( {M - 3} \right){t^2} + \left( {M + 3} \right)t + M - 3 = 0\)

Phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {M + 3} \right)^2} - 4{\left( {M - 3} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {M - 9} \right)\left( {M - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le M \le 9\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(1\), dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \(x = y = 1.\)

Giá trị lớn nhất của \(M\) là \(9\), dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \(x = \sqrt 3 ,y = - \sqrt 3 .\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link