Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp và \(AH\) là đường cao,

Câu hỏi số 487895:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp và \(AH\) là đường cao, với \(H\) thuộc BC. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên cạnh \(AC.\) Đường tròn tâm \(I\) ngoại tiếp tam giác \(ABK\)cắt lại cạnh \(BC\)tại D.

a) Chứng minh \(CH.CM = CB.CD\).

b) Gọi \(N\) là trung điểm \(AB.\) Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(ON\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487895

Phương pháp giải

a) Sử dụng bài toán phương tích

b) Kẻ các đường vuông góc từ \(N,I\) tới cạnh \(BC.\) Gọi các chân đường vuông góc là \(P,T\). Để chứng minh \(I\) là trung điểm của \(ON\), ta chứng minh \(T\) là trung điểm của \(MP\).

Giải chi tiết

a) Do \(\Delta AHC \sim \Delta MKC \Rightarrow \frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CA}}{{CM}} \Rightarrow CH.CM = CK.CA\left( 1 \right)\)

Vì tứ giác \(ABDK\)nội tiếp nên \(\angle ABK = \angle DKC \Rightarrow \Delta CBA \sim \Delta CKD(g.g)\)

\( \Rightarrow \frac{{CB}}{{CK}} = \frac{{CA}}{{CD}} \Rightarrow CB.CD = CK.CA\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(CH.CM = CB.CD\)

b) Gọi \(P,T\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(N,I\) lên cạnh \(BC\)

Suy ra \(P\) là trung điểm \(HB\) (vì \(NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\))

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(IT \bot BD\) nên \(TB = TD\,\,\left( 3 \right)\)

\(CH.CM = CB.CD \Rightarrow CH = 2CD\)

Có \(BP = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}\left( {BC - HC} \right) = MC - DC = MD\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\)suy ra \(T\) là trung điểm của \(MP\)

Dễ thấy \(I,O,N\) thẳng hàng vì cùng thuộc trung trực \(AB\)

Suy ra \(IT\) là đường trung bình của hình thang \(NOMP\)

Vậy \(I\) là trung điểm \(ON\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link