Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 1 = 0\). Tìm hình chiếu của đường thẳng \(d\) trên \(\left( P \right)\)

Câu 488796: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 1 = 0\). Tìm hình chiếu của đường thẳng \(d\) trên \(\left( P \right)\)

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{5} + 2t\\y = - \dfrac{2}{5} - t\\z = t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{5} + 2t\\y = - \dfrac{{12}}{5} - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5} + 2t\\y = - \dfrac{4}{5} - t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{5} + 2t\\y = - \dfrac{2}{5} - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Câu hỏi : 488796

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0 \Rightarrow d||\left( P \right)\)

Do đó, nếu \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right)\) thì \(d'||d\)

Gọi \(M'\) là hình chiếu của \(M\left( {1;0;2} \right)\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow M' \in d'\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow M' = \Delta \cap \left( P \right)\)

Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\Delta \) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2;0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;0;2} \right)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2;0} \right)\) là: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2\end{array} \right.\)

\(M' = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow \) tọa độ điểm \(M'\) thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2\\x + 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2\\\left( {1 + t} \right) + 2.2t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\y = - \dfrac{4}{5}\\z = 2\\t = - \dfrac{2}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5};2} \right)\)

Hình chiếu \(d'\) song song với \(d\) và đi qua \(M'\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5};2} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5} + 2t\\y = - \dfrac{4}{5} - t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.