Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\) và nửa đường tròn

Câu hỏi số 488799:

Vận dụng

Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\) và nửa đường tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) với \( - 2 \le x \le 2\) (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{2\pi + 5\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{4\pi + 5\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{4\pi + \sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{2\pi + \sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:488799

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là \(x = \pm 1\).

Do đó diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} - \sqrt 3 {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} - \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt 3 {x^2}dx} \) \( = I - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\), với \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} \)

Để tính \(I\) đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Nên \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}} {4{{\cos }^2}tdt} = \left. {\left( {2t - 2\sin 2t} \right)} \right|_{ - \dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{6}} = \dfrac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 \)

Do đó \(S = \dfrac{{2\pi + \sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.