Giả sử \(S = \left( {a;} \right.\left. b \right]\) là tập nghiệm của bất phương trình \(5x + \sqrt
Giả sử \(S = \left( {a;} \right.\left. b \right]\) là tập nghiệm của bất phương trình
\(5x + \sqrt {6{x^2} + {x^3} - {x^4}} {\log _2}x > \left( {{x^2} - x} \right){\log _2}x + 5 + 5\sqrt {6 + x - {x^2}} \)
Khi đó \(b - a\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\6 + x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 2 \le x \le 3\end{array} \right.\)
Ta có:
\(5x + \sqrt {6{x^2} + {x^3} - {x^4}} {\log _2}x > \left( {{x^2} - x} \right){\log _2}x + 5 + 5\sqrt {6 + x - {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow 5x + x\sqrt {6 + x - {x^2}} {\log _2}x > x\left( {x - 1} \right){\log _2}x + 5 + 5\sqrt {6 + x - {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {5 - x{{\log }_2}x} \right) + \sqrt {6 + x - {x^2}} \left( {x{{\log }_2}x - 5} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {5 - {{\log }_2}x} \right)\left( {x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} } \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5 - {\log _2}x > 0\\x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}5 - {\log _2}x < 0\\x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
+ Xét hệ \(\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}5 - {\log _2}x > 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} > 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải \(\left( 1 \right)\):
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {\dfrac{5}{x} - {{\log }_2}x} \right) = xg\left( x \right)\) với \(x \in \left( {0;} \right.\left. 3 \right]\)
Ta có \(g'\left( x \right) = - \dfrac{5}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{x\ln 2}} < 0,\forall x \in \left( {0;} \right.\left. 3 \right]\)
Lập bảng biến thiên
Vậy \(f\left( x \right) = x\left( {\dfrac{5}{x} - {{\log }_2}x} \right) > 0,\forall x \in \left( {0;} \right.\left. 3 \right]\).
Xét bất phương trình \(\left( 2 \right)\):
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {6 + x - {x^2}} < x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + x - {x^2} < {\left( {x - 1} \right)^2}\\x > 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 5 > 0\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}\).
Vậy nghiệm của hệ \(\left( I \right)\) là \(D = \left( {\dfrac{5}{2}} \right.;\left. 3 \right]\).
+ Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5 - {\log _2}x < 0\\x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} < 0\end{array} \right.\) vô nghiệm
Vậy \(S = \left( {\dfrac{5}{2}} \right.;\left. 3 \right]\), suy ra \(b - a = 3 - \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
