Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 489473:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) được viết dưới dạng \(x - y{\log _2}z\) với \(x,\,\,y,\,\,z > 2\) là các số nguyên, \(z\) là số lẻ. Tổng \(x + y + z\) bằng

A. 11

B. 2

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489473

Giải chi tiết

Ta có \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _a}\dfrac{2}{b} \Rightarrow {\log _2}\sqrt a = {\log _2}\dfrac{2}{b} \Rightarrow \sqrt a = \dfrac{2}{b}\)\( \Rightarrow a = \dfrac{4}{{{b^2}}}\)

Ta có \(t = 4{a^3} + {b^3} = {b^3} + \dfrac{{256}}{{{b^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{b^3}}}{2}.\dfrac{{{b^3}}}{2}.\dfrac{{256}}{{{b^6}}}}} = 12\)\( \Rightarrow t \in \left[ {12; + \infty } \right)\)

Nên \(P = t - 4{\log _2}t \Rightarrow P' = 1 - \dfrac{4}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t \ge 2\)

Nên \(\min P = P\left( {12} \right) = 4 - 4{\log _2}3\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 4\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 11\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.