Chứng minh rằng với $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thì tồn tại ít nhất một

Câu hỏi số 489976:

Vận dụng

Chứng minh rằng với $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thì tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm:

$4a{x^2} + 2\left( {b + c} \right)x + c = 0\,\,\left( 1 \right);4b{x^2} + 2\left( {c + a} \right)x + a = 0\,\,\left( 2 \right);4c{x^2} + 2\left( {a + b} \right)x + b = 0\,\,\left( 3 \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489976

Phương pháp giải

Ta chứng minh $\Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}\ge 0$ từ đó suy ra ít nhất một trong ba biệt thức này không âm

Giải chi tiết

Với $a,b,c \ne 0$ thì ba phương trình đã cho là các phương trình bậc hai

$\Delta _{1}^{'}={{\left( b+c \right)}^{2}}-4ac,\Delta _{2}^{'}={{\left( a+c \right)}^{2}}-4ba,\Delta _{3}^{'}={{\left( b+a \right)}^{2}}-4cb$

$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}={{\left( b+c \right)}^{2}}-4ac+{{\left( a+c \right)}^{2}}-4ba+{{\left( b+a \right)}^{2}}-4cb$

$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)$

$\Rightarrow \Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}+\Delta _{3}^{'}={{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0,\,\forall a,b,c\ne 0$

Vậy ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link