Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại trực tâm \(H\).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng
Chứng minh rằng tứ giác \(BFHD;ABDE\) nội tiếp và \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\).
Xem lời giải
Câu hỏi:489978
Phương pháp giải

Từ các tứ giác nội tiếp, ta bắc cầu góc để chứng minh \(DH,FH\) là các đường phân giác trong của tam giác \(DEF\)

Giải chi tiết

Có \(\widehat {BFH} + \widehat {BDH} = 180^\circ  \Rightarrow BDHF\) là tứ giác nội tiếp

Có \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ  \Rightarrow ABDE\) là tứ giác nội tiếp

Tương tự, ta có các tứ giác \(CEHD,CBFE\) là các tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat {HDF} = \widehat {HBF},\widehat {HDE} = \widehat {HCE}\) và \(\widehat {HBF} = \widehat {HCE} \Rightarrow \widehat {HDF} = \widehat {HDE} \Rightarrow DH\) là phân giác của \(\widehat {EDF}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(FH\) là phân giác \(\widehat {DFE}\)

Suy ra \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\).

Câu hỏi số 2:
Vận dụng
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh tứ giác \(DFEM\) nội tiếp.
Xem lời giải
Câu hỏi:489979
Phương pháp giải

Ta chứng minh \(\widehat {FME} = \widehat {FDE}\) thông qua các tứ giác nội tiếp từ câu 1

Giải chi tiết

Với \(M\) là trung điểm của \(BC\), thì \(M\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC\)

Suy ra \(\widehat {FME} = 2\widehat {FBH}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp)

Lại có \(\widehat {FDE} = 2\widehat {FDH} = 2\widehat {FBH}\)

Suy ra \(\widehat {FME} = \widehat {FDE} \Rightarrow MEFD\) là tứ giác nội tiếp.

Câu hỏi số 3:
Vận dụng
Tia \(MH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(I\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(AI,EF,BC\) đồng quy.
Xem lời giải
Câu hỏi:489980
Phương pháp giải

Đưa chứng minh đồng quy về chứng minh thẳng hàng. Sử dụng bổ đề hình bình hành và bài toán phương tích quen thuộc

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là giao điểm của tia \(AO\) với \(\left( O \right)\)

Gọi giao điểm của các đường thẳng \(BC\) và \(FE\) là $S$, \(SA\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(K\)

Ta có \(BH\,{\rm{//}}\,GC\)(cùng vuông góc với $AC$)

 \(CH\,{\rm{//}}\,GB\)(cùng vuông góc với \(AB\))

Suy ra $BHCG$ là hình bình hành, suy ra $H,M,G$ thẳng hàng.

Tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên ta có $\Delta SBF\sim \Delta SEC\Rightarrow $$SB.SC=SF.SE$

Tứ giác $BCAK$ nội tiếp nên ta có $\Delta SBK\sim \Delta SAC\Rightarrow $$SB.SC=SK.SA$

Suy ra $SF.SE=SK.SA\Rightarrow \Delta SKF\sim \Delta SEA\Rightarrow AKFE$ là tứ giác nội tiếp

Lại có tứ giác \(AFHE\) nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ suy ra $5$ điểm $A,K,F,H,E$ cùng thuộc đường kính $AH\Rightarrow \widehat{AKH}=90{}^\circ $

Lại có $\widehat{AKG}=90{}^\circ \Rightarrow K,H,M,G$ thẳng hàng

Suy ra $K$ là giao điểm của tia $HM$ với $\left( O \right)$, hay $K$ trùng $I$.

Vậy các đường thẳng $AI,EF,BC$ đồng quy tại $S$.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →