Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất? \({\log

Câu hỏi số 490891:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất?

\({\log _{\frac{1}{m}}}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 5} + 1} \right).{\log _5}\left( {{x^2} + mx + 6} \right) + {\log _m}3 \ge 0\)

A. \(4\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490891

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

ĐK: \(0 < \frac{1}{m} \ne 1 \Leftrightarrow 0 < m \ne 1\).

Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) phương trình \({\log _{\frac{1}{m}}}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 5} + 1} \right).{\log _5}\left( {{x^2} + mx + 6} \right) + {\log _m}3 = 0\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm uy nhất.

Điều kiện cần:

Dễ thấy nếu \({x_0}\) là nghiệm của (1) thì \( - m - {x_0}\) cũng là nghiệm của (1).

\( \Rightarrow {x_0} = - m - {x_0} \Rightarrow {x_0} = - \frac{m}{2}\) là nghiệm của (1).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _{\frac{1}{m}}}\left( {\sqrt {5 - \frac{{{m^2}}}{4}} + 1} \right).{\log _5}\left( {6 - \frac{{{m^2}}}{4}} \right) = {\log _m}3\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\sqrt {5 - \frac{{{m^2}}}{4}} + 1} \right).{\log _5}\left( {6 - \frac{{{m^2}}}{4}} \right) = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {t + 1} \right).{\log _5}\left( {{t^2} + 1} \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\ln 3}}.{\log _5}\left( {{t^2} + 1} \right) + \frac{{2t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\ln 5}}.{\log _3}\left( {t + 1} \right) > 0\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( 2 \right) = 1\) nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {5 - \frac{{{m^2}}}{4}} } \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5 - \frac{{{m^2}}}{4}} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Điều kiện đủ:

Thử lại \(m = 2\) thì bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1\) \( \Rightarrow m = 2\) thỏa mãn.

Vậy \(m = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.