Cho $a,b,c$ là các số thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện $a+b+c=8$ và

Câu hỏi số 490919:

Vận dụng cao

Cho $a,b,c$ là các số thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện

$a+b+c=8$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=22$.

a) Tính $ab+bc+ca$.

b) Chứng minh rằng $2\le a,b,c\le \frac{10}{3}$.

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490919

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)$

b) Ứng dụng tam thức bậc hai

c) Dùng hằng đẳng thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ để đơn giản biểu thức, sau đó sử dụng câu b) làm gợi ý

Giải chi tiết

a) Có ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow 64=22+2\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow ab+bc+ca=21$

b) ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=22\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 8-a-b \right)}^{2}}=22$

$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+64+2ab-16a-16b=22$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+a\left( b-8 \right)+{{b}^{2}}-8b+21=0$

$P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$

$P={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$

$P={{8}^{3}}-3\left( 8-c \right)\left( 8-b \right)\left( 8-c \right)$

$P={{8}^{3}}-3\left( {{8}^{3}}+8\left( ab+bc+ca \right)-64\left( a+b+c \right)-abc \right)$

$P={{8}^{3}}-3\left( {{8}^{3}}+8.21-64.8-abc \right)$

$P=8+3abc$

Vì $2\le a,b,c\le \frac{10}{3}\Rightarrow \left( a-2 \right)\left( b-2 \right)\left( c-2 \right)\ge 0\Rightarrow abc-2\left( ab+bc+ca \right)+4\left( a+b+c \right)-8\ge 0\Rightarrow abc\ge 18$

Lại có $\left( a-\frac{10}{3} \right)\left( b-\frac{10}{3} \right)\left( c-\frac{10}{3} \right)\le 0\Leftrightarrow abc-\frac{10}{3}\left( ab+bc+ca \right)+\frac{100}{9}\left( a+b+c \right)-\frac{1000}{27}\le 0\Rightarrow abc\le \frac{490}{27}$

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $62$, dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $\left( a;b;c \right)=\left( 2;3;3 \right)$

Giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{562}{9}$, dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $\left( a;b;c \right)=\left( \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link