Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O' \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Trên tia
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O' \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $P$. Kẻ các tiếp tuyến $PC$ và $PD$ với đường tròn $\left( O' \right)$, trong đó $C$ và $D$ là các tiếp điểm và $D$ nằm bên trong đường tròn $\left( O \right)$.
a) Chứng minh $\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}$.
b) Các đường thẳng $AC,AD$ lần lượt cắt $\left( O \right)$ theo thứ tự tại các điểm thứ hai \[E,F\] và gọi $I$ là giao điểm của $CD$ với $EF$. Chứng minh các cặp tam giác $\Delta IFB,\Delta CAB$ và $\Delta EIB,\Delta ADB$ là đồng dạng. Từ đó suy ra $I$ là trung điểm của đoạn $EF$.
c) Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi $CD$ luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng cáo
a) Ta sử dụng tam giác đồng dạng và bắc cầu tỉ số
b) Sử dụng tứ giác nội tiếp, sau đó tiếp tục bắc cầu tỉ số với gợi ý từ câu a)
c) Dự đoán được điểm cố định, sau đó đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng
a) Xét $\Delta PDA$ và $\Delta PBD$ có: $\angle BPD$ chung, $\angle PDA=\angle PBD\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{AD} \right)$
Suy ra $\Delta PDA\sim \Delta PBD\Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{PD}{PB}$
Tương tự ta có $\Delta PCA\sim \Delta PBC\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{PC}{PB}$
Lại có \(PD=PC\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\).
b) Có $\angle BFI=\angle BAC$ (tứ giác $BFEA$ nội tiếp), $\angle BDC=\angle BAC$ (tứ giác $BDAC$ nội tiếp)
Suy ra $\angle BFI=\angle BDC\Rightarrow BDIF$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle FBI=\angle FDI=\angle ADC=\angle ABC$
Từ đó suy ra $\Delta IFB\sim \Delta CAB\Rightarrow \frac{FI}{BI}=\frac{CA}{CB}\,\,\left( 1 \right)$
Có $\angle BCD=\angle BAD=\angle BEI\Rightarrow BCEI$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle EBI=\angle ECI=\angle ABD$
Từ đó suy ra $\Delta EIB\sim \Delta ADB\Rightarrow \frac{EI}{BI}=\frac{AD}{BD}\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và theo kết quả câu a) thì ta có $\frac{FI}{BI}=\frac{EI}{BI}\Rightarrow FI=EI\Rightarrow I$ là trung điểm \(EF\).
c) Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$.
Gọi $G$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $A,B$ với đường tròn $\left( O' \right)$, thế thì $G$ cố định.
Thế thì $O'{{A}^{2}}=O'K.O'G$
Lại có $O'{{C}^{2}}=O'H.O'P$, mà $O'A=O'C\Rightarrow O'K.O'G=O'H.O'P\Rightarrow \frac{O'K}{O'P}=\frac{O'H}{O'G}$
Từ đó suy ra $\Delta GHO'\sim \Delta PKO'\,\left( c.g.c \right)$, mà $\angle PKO'=90{}^\circ \Rightarrow \angle GHO'=90{}^\circ \Rightarrow GH\bot HO'$
Mà $CD\bot HO'\Rightarrow G,D,C$ thẳng hàng.
Vậy khi $P$ thay đổi thì $CD$ luôn đi qua $G$ cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
