Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\)\(AD = a,\,AB = 2a,\,BC = 3a.\) Mặt

Câu hỏi số 491371:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\)\(AD = a,\,AB = 2a,\,BC = 3a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right).\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{6}.\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {66} }}{{22}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491371

Phương pháp giải

Trong mặt phẳng đáy, tìm giao điểm của \(AB\) và \(CD.\)

Đưa khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) về khoảng cách từ chân đường cao tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

Vẽ hình và xác định khoảng cách từ chân đường cao tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và tính toán. Sau đó kết luận khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) nhờ tỉ lệ khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi giao điểm của \(AB\) và \(CD\) là \(K\)\( \Rightarrow KA = AH = HB = a.\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow HJ = 2a\)

Ta có: \(AH\)cắt \(\left( {SCD} \right)\) tại \(K\) nên \(\dfrac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AK}}{{HK}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\)

Lại có: \(HD \bot KJ,\,SH \bot KJ\, \Rightarrow KJ \bot \left( {SHD} \right)\) hay \(DJ \bot \left( {SHD} \right)\)

Trong \(\left( {SHD} \right),\) ta vẽ \(HI \bot SD\) mà \(HI \bot DJ\)( do \(HI \in \left( {SHD} \right)\))

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHD\) ta có: \(\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{D^2}}}\)

Mà \(SH = a\sqrt 3 ,\,HD = a\sqrt 2 \Rightarrow HI = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}HI = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.