Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{13x - 9}}{{{x^2} + 1}}\) có hai điểm cực trị.

Câu hỏi số 491374:

Vận dụng cao

Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{13x - 9}}{{{x^2} + 1}}\) có hai điểm cực trị. Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

A. \(\dfrac{9}{{\sqrt {173} }}\)

B. \(\dfrac{9}{{\sqrt {154} }}\)

C. \(\dfrac{{18}}{{\sqrt {173} }}\)

D. \(\dfrac{{18}}{{\sqrt {154} }}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491374

Phương pháp giải

Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)

Viết công thức đạo hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) từ đó rút ra nhận xét về \({y_{CT}}\) và \({y_{CD}}\) và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 13{x^2} + 18x + 13}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)

Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(M({x_1};{y_1}),\,N({x_2};{y_2}).\)

Khi đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 13{x^2} + 18x + 13 = 0\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}} = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}}\)

Ta có: \(\)\({y_{CT}} = \dfrac{{u\left( {{x_{CT}}} \right)}}{{v\left( {{x_{CT}}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_{CT}}} \right)}}{{v'\left( {{x_{CT}}} \right)}};\,{y_{CD}} = \dfrac{{u\left( {{x_{CD}}} \right)}}{{v\left( {{x_{CD}}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_{C\,{\rm{D}}}}} \right)}}{{v'\left( {{x_{CD}}} \right)}}\,\)

Do đó, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong \(y = \dfrac{{(13x - 9)'}}{{({x^2} + 1)'}} = \dfrac{{13}}{{2x}}\)

Khi đó hai điểm \(A,B\) thuộc đường thẳng:

\(y = \dfrac{{13 - ( - 13{x^2} + 18x + 13)}}{{2x}} = \dfrac{{13}}{2}x - 9\)\( \Rightarrow 13x - 2y - 18 = 0\)

Vậy \(d(O,AB) = \dfrac{{\left| { - 18} \right|}}{{\sqrt {{{13}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \dfrac{{18}}{{\sqrt {173} }}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.