Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:

Câu 491709: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:

A. \({30^0}\)

B. \({45^0}\)

C. \({90^0}\)

D. \({60^{}}^0\)

Câu hỏi : 491709

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất hình vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC \bot BD\) tại \(O\) và \(AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SO \subset \left( {SBD} \right),\,\,SO \bot BD\\AO \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AO \bot BD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA\).

Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(\tan \angle SOA = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \angle SOA = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^0}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.