Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) và \(BC = SB = a\) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:

Câu 491711: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) và \(BC = SB = a\) (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Câu hỏi : 491711

Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(OH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(OK \bot \left( {SBC} \right)\)

- Sử dụng định lí Pytago tính \(OB,\,\,OC\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,OK\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(OH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right)\).

Trong \(\left( {SOH} \right)\) kẻ \(OK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot BC\\OK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), \(OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBC\) ta có:

\(OH = \dfrac{{OB.OC}}{{\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOH\) ta có:

\(OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{3} + \dfrac{{2{a^2}}}{9}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.