Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\), \(D\left( {1;2; - 1} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác 0. Biết rằng bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là lớn nhất, giá trị \(a + b + c\) bằng:

Câu 491713: Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\), \(D\left( {1;2; - 1} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác 0. Biết rằng bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là lớn nhất, giá trị \(a + b + c\) bằng:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(15\)

D. \(4\)

Câu hỏi : 491713

Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\left( {ABC} \right)\), chứng minh \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH \le OD\).

- Viết phương trình mặt phẳng biết VTPT và 1 điểm thuộc mặt phẳng.

- Tìm giao điểm của \(\left( {ABC} \right)\) với các trục tọa độ và suy ra tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH \le OD\) (quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên).
Do đó \(d{\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right)_{\max }} = OD \Leftrightarrow H \equiv D\).
Khi đó \(OD \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {OD} = \left( {1;2; - 1} \right)\) là 1 VTPT.
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z - 6 = 0\).
Khi đó ta có \(A\left( {6;0;0} \right),\,\,B\left( {0;3;0} \right),\,\,C\left( {0;0; - 6} \right)\).
\( \Rightarrow a = 6,\,\,b = 3,\,\,c = - 6\).
Vậy \(a + b + c = 3\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.