Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 491714:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc \(\left[ { - 5;5} \right]\) sao cho hàm số \(y = f\left( {2 - x} \right) - \left( {1 - m} \right)x - 6\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\)?

A. \(7\)

B. \(8\)

C. \(10\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491714

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

- Cô lập tham số \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le h\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} h\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} h\left( x \right)\), kết hợp điều kiện đề bài tìm các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {2 - x} \right) - \left( {1 - m} \right)x - 6\) ta có \(g'\left( x \right) = - f'\left( {2 - x} \right) + m - 1\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;3} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {2;3} \right)\)

\(\begin{array}{l} - f'\left( {2 - x} \right) + m - 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( {2;3} \right) \Leftrightarrow m - 1 \le f'\left( {2 - x} \right)\,\,\forall x \in \left( {2;3} \right)\\ \Leftrightarrow m - 1 \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f'\left( {2 - x} \right)\end{array}\).

Vì \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( {2 - x} \right) = {\left( {2 - x} \right)^3} - 3\left( {2 - x} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8 - 12x + 6{x^2} - {x^3} - 6 + 3x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 3\end{array}\)

Xét hàm số \(f'\left( {2 - x} \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 3 = h\left( x \right)\) trên \(\left[ {2;3} \right]\) ta có:

\(h'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {2;3} \right]\\x = 1 \notin \left[ {2;3} \right]\end{array} \right.\).

\(h\left( 2 \right) = 1,\,\,\,h\left( 3 \right) = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f'\left( {2 - x} \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} h\left( x \right) = 1\).

\( \Rightarrow m - 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 2\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \( - 5 \le m \le 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.