Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 < y \le 2021\) và \({\log _2}\left(

Câu hỏi số 492199:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 < y \le 2021\) và \({\log _2}\left( {\dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}}} \right) = y - {3^x}\)?

A. \(7\)

B. \(6\)

C. \(8\)

D. \(2021\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492199

Phương pháp giải

- Biến đổi để xét hàm đặc trưng.

- Biểu diễn \(x\) theo \(y\), dựa vào khoảng giá trị của \(y\) đề bài cho tìm các giá trị nguyên \(x\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {\dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}}} \right) = y - {3^x} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}} = {2^{y - {3^x}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^x} - 1}}{{2y}} = \dfrac{{{2^y}}}{{{2^{{3^x}}}}} \Leftrightarrow {2^{{3^x}}}\left( {{3^x} - 1} \right) = {2^y}.2y \Leftrightarrow {2^{{3^x}}}\left( {{3^x} - 1} \right) = {2^{y + 1}}.y\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}\left( {t - 1} \right)\) với \(t > 1\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln \left( {t - 1} \right) + {2^t} > 0\,\,\forall t > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {{3^x}} \right) = f\left( {{2^{y + 1}}} \right) \Leftrightarrow {3^x} = y + 1\).

Vì \(0 < y \le 2021\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 < y + 1 \le 2022 \Leftrightarrow 2 < {3^x} \le 2022\\ \Leftrightarrow {\log _3}2 < x \le {\log _3}2022\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;6} \right\}\).

Ứng với mỗi giá trị của \(x\) cho ta 1 giá trị của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.