Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo

Câu hỏi số 492209:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{{8{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{8{a^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{4{a^3}}}{9}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492209

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AM,\,\,SA\), từ đó tính \(AB\) và \({S_{\Delta ABC}}\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = {30^0}\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\).

Xét tam giác vuông \(AHM\) ta có: \(AM = \dfrac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{a}{{1/2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có \(SA = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2AM}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{4}{{\sqrt 3 }}a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{8{a^3}}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.