Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?

Câu 492667: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Câu hỏi : 492667

Quảng cáo

Đáp án : C
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+) \(y' = 1 + m.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( * \right)\)

+) Đặt \(t = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\, \Rightarrow t'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \left( {x - 1} \right).\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}}}{{{x^2} - 2x + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

\( \Rightarrow t\left( x \right)\) là hàm số đồng biến \( \Rightarrow \) Khi \(x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vậy BPT \(\left( * \right) \Leftrightarrow y' = g\left( t \right) = 1 + mt \ge 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) \ge 0\\g\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m \ge 0\\1 + m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1\)

Có 3 giá trị nguyên của \(m\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.