Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _3}\left( {3x + 6} \right) + x - 2y = {3.9^y}\). Biết \(5

Câu hỏi số 492828:

Vận dụng

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _3}\left( {3x + 6} \right) + x - 2y = {3.9^y}\). Biết \(5 \le x \le 2021\), tìm số cặp \(x,\,\,y\) nguyên thỏa mãn đẳng thức trên?

A. \(5\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492828

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(3x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3x + 6} \right) + x - 2y = {3.9^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3\left( {x + 2} \right)} \right] + x - 2y = {3.9^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + 1 + x - 2y = {3.9^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = {3.3^{2y}} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = {3^{2y + 1}} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = {\log _3}\left( {{3^{2y + 1}}} \right) + {3^{2y + 1}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {x + 2} \right) = f\left( {{3^{2y + 1}}} \right) \Leftrightarrow x + 2 = {3^{2y + 1}}\).

Vì \(5 \le x \le 2021 \Leftrightarrow 7 \le x + 2 \le 2023\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 7 \le {3^{2y + 1}} \le 2023 \Leftrightarrow {\log _3}7 \le 2y + 1 \le {\log _3}2023\\ \Leftrightarrow 0,38 \approx \dfrac{{{{\log }_3}7 - 1}}{2} \le y \le \dfrac{{{{\log }_3}2023 - 1}}{2} \approx 2,96\end{array}\)

Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(y = 1 \Rightarrow x + 2 = {3^3} = 27 \Leftrightarrow x = 25\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(y = 2 \Rightarrow x + 2 = {3^5} = 243 \Rightarrow x = 241\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 2 cặp số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.